Уравнения непрерывности

О модели / Уравнения модели /

Интегрируя по скоростям кинетическое уравнение Больцмана и учитывая, что t, x_j , v_j — независимые переменные, f(\vec{v})\to 0 при v \to + \infty , а упругие столкновения не меняют полного числа частиц данного сорта в единице объема, получим известное уравнение непрерывности, или закон сохранения числа частиц в дифференциальной форме:

{\large\partial n_\alpha \over{\large\partial t}}+\vec{\nabla}(n_\alpha\vec{V_\alpha})=Q_\alpha-L_\alpha\,,

\alpha=n,\,i,\,e\,,

где индексы  n,\,i,\,e обозначают нейтральный, ионный и электронный газы, соответственно, n_\alpha,\,Q_\alpha,\,L_\alpha — концентрация, скорость образования (в ед. объема в ед. времени) и скорость потерь -газа, соответственно, \vec{V_\alpha} — направленная макроскопическая скорость \alpha -газа относительно вращающейся Земли.

Для процессов неупругого взаимодействия

Q_\alpha=\int\sum_\gamma\Gamma_\gamma^\alpha d\vec{v}\,,

-L_\alpha=\int\sum_\gamma\Gamma^\gamma_\alpha d\vec{v}

Для процессов парного взаимодействия частиц сорта \alpha с частицами сорта \gamma типа

\alpha+\gamma\to \beta+\delta\,,

в которых частицы сорта \alpha и \gamma гибнут, а вместо них образуются частицы сортов \beta и \delta скорость  исчезновения частиц сорта \alpha записывают в виде

L_\alpha=\sum_\gamma k_{\alpha\gamma}n_\alpha n_\gamma\,,

k_{\alpha\gamma}=\int u\sigma_{\alpha\gamma}^{\beta\delta}\tilde f_{\alpha\gamma}  (\vec u)d\vec u\,,

где
k_{\alpha\gamma} — коэффициент скорости процесса,
\vec u — относительная скорость частиц,
\sigma_{\alpha\gamma}^{\beta\delta} — сечение процесса,
\tilde f_{\alpha\gamma} — нормированная на единицу функция распределения частиц по скоростям.

Если процесс может идти не по одному каналу, а по нескольким, с образованием, например, разных пар продуктов \beta_1,\,\gamma_1 и \beta_2,\,\gamma_2 , то вводят коэффициенты ветвления a_1 и a_2 , такие, что

k_{\alpha\gamma}^{\beta_1\delta_1}=a_1k_{\alpha\gamma},\,

k_{\alpha\gamma}^{\beta_2\delta_2}=a_2k_{\alpha\gamma},\,

a_1+a_1=1

По аналогии с упругими соударениями величину  k_{\alpha\gamma}n_\gamma можно принять за частоту неупругих столкновений \nu_{\alpha\gamma} , а обратную ей величину 1/(k_{\alpha\gamma}n_\gamma) — за время между столкновениями  \tau_{\alpha\gamma} , называемое в данном случае временем жизни компоненты  \alpha относительно реакции. Скорость изменения концентрации частиц сорта  запишется в виде

{\partial n_\alpha\over\partial t}=-k_{\alpha\gamma}n_\alpha n_\gamma

Для тримолекулярных реакций (реакций тройного столкновения)

X+Y+M\longrightarrow^{k_{XYM}}\text{products}

константа скорости реакции k_{XYM} имеет размерность см6c-1 и определяется из условия

{\partial n(X)\over \partial t}|_{XYM}={\partial n(Y)\over\partial t}|_{XYM}={\partial n(M)\over \partial t}|_{XYM}=-k_{XYM}n(X)n(Y)n(M)\,,

где  \partial n(X)/\partial t|_{XYM} означает изменение концентрации частиц сорта Х за счет ракции тройного соударения. Соответствующее время жизни компоненты Х относительно реакции определяется как

\tau_{XUM}(X)=1/(k_{XYM}n(Y)n(M))

Реклама