Уравнения модели

О модели /

Уравнения модели получены в так называемом пятимоментном (т.е. гидродинамическом) приближении из системы кинетических уравнений Больцмана для функции распределения частиц по скоростям (см. Б.Е. Брюнелли, А.А. Намгаладзе «Физика ионосферы», разделы 3.1 и 1.6).

Поведение плазмы или газа, состоящих из большого числа независимо движущихся частиц, можно описать функцией распределения f_\alpha(\vec{r}\,,\vec{v}\,,t) такой, что число частиц сорта \alpha в интервале координат (\vec{r}\,,\vec{r}+d\vec{r}) со скоростями в интервале (\vec{v}\,,\vec{v}+d\vec{v}) в момент времени t равно:

\large dn_\alpha=f_\alpha(\vec{r},\ \vec{v},\ t)d\vec{r} d\vec{v}\,,

где \large d\vec{r} \equiv dxdydz\,, \large d\vec{v}\equiv dv_xdv_ydv_z — элементы объема обычного пространства и пространства скоростей.

Функция распределения должна удовлетворять кинетическому уравнению Больцмана:

({\large\partial \over\large\partial t}+\vec{v}{\large\partial\over\large\partial\vec{r}}+\vec{a_\alpha}\cdot{\large\partial\over\large\partial\vec{v}})f_\alpha =\sum_\beta(S^\alpha_\beta+S_\alpha^\beta)+\sum_\gamma(\Gamma^\alpha_\gamma+\Gamma_\alpha^\gamma)\equiv({\large\partial f_\alpha \over\large \partial t})_{st}\,,

\vec{a_\alpha}=\vec{g}+{e_\alpha\over m_\alpha}(\vec{E} + \frac{1}{c}[\vec{v}\times\vec{B}])\,,

где

\vec{a_\alpha} — ускорение под действием внешних сил,
\vec{g} — гравитационное ускорение,
m_\alpha\,, e_\alpha — масса и зарад частицы сорта  \alpha ,
\vec{E}\,,\vec{B} — электрическое и магнитные поля,
S^\alpha_\beta+S_\alpha^\beta — интегралы упругих и \Gamma^\alpha_\gamma+\Gamma_\alpha^\gamma интегралы неупругих столкновений (ионизация, возбуждение, химические реакции), в которых частицы сорта  \alpha рождаются и исчезают, соответственно.

Левая часть уравнения учитывает изменения функции распределения внешними воздействиями, а правая — изменение функции распределения под действием соударений. Она носит название столкновительного члена или интеграла столкновений.

Операторы в левой части уравнения Больцмана могут быть записаны в форме:

\large \vec{v}{\large\partial\over\large\partial\vec{r}}\equiv  v_j\cdot{\large\partial\over\large\partial x_j}\equiv(\vec{v}\,,\vec{\nabla})\,,

\vec{a_\alpha}\cdot{\large\partial\over\large\partial \vec{v}}\equiv a_{\alpha j}\cdot{\large\partial\over\large\partial v_j}\equiv  (\vec{a_\alpha}\,,\ \vec{\nabla_v})\,,

где
j — индекс, нумерующий оси системы координат,
x_j\,,v_j\,,a_{\alpha j} — проекции векторов \vec{r}\,,\vec{v}\,,\vec{a_\alpha} на оси системы координат,
по повторяющимся в сомножителях координатным индексам подразумевается суммирование.

Средние макроскопические характеристики газа (концентрация, скорость, давление и др.) связаны с моментами функции распределения.

Моментом n-го порядка называется величина

M^{(n)}_{jkl}=\int v_j v_kv_l...fd\vec{v}\,,

где число нижних индексов, нумерующих оси системы координат, равно n , а индексы \alpha\,,\beta и т.д., нумерующие сорта частиц, опущены. Интегрирование ведется по всему пространству скоростей.

Первые пять моментов функции распределения:

  • концентрация частиц сорта \alpha   (их число в единице объёма):

n_\alpha=\int f_\alpha d\vec v\,,

  • три компоненты вектора потока n_\alpha\vec{V_\alpha} частиц сорта \alpha   (число частиц, пересекающих единицу площади в единицу времени по каждому из трёх направлений осей выбранной системы координат) или вектора направленной макроскопической скорости \vec{V_\alpha}\,,

nV_{\alpha j}=\int v_jf_\alpha d\vec v\,,

  • давление или температура частиц сорта \alpha

p_\alpha=n_\alpha kT_\alpha={\frac13}m\int w^2\vec Fd\vec w\,,

\vec{w}=\vec{v}-\vec{V}

Уравнения для моментов функции распределения выводятся из кинетического уравнения Больцмана путем умножения его на различные комбинации различного числа сомножителей  и последующего интегрирования по скоростям. Получающуюся при этом систему уравнений называют уравнениями переноса для моментов функции распределения. Они описывают изменения в пространстве и во времени макроскопических характеристик ионосферной плазмы. В пятимоментном приближении они представляют собой уравнения непрерывности, движения и теплового баланса.

Заключение

В разных областях верхней атмосферы Земли различен газовый состав и преобладают различные силы и процессы для различных сортов частиц. Из-за преобладания силы тяжести для нейтральных компонент удобно решать соответствующие уравнения в сферической системе коодринат. Для заряженных компонент преобладающими являются электромагнитные взаимодействия, поэтому удобнее использовать дипольную систему координат. В геомагнитной системе координат проще, чем в географической описывать влияние геомагнитного поля на заряженные компоненты ионосферной плазмы. Конкретный вид моделирующих уравнений для различных газовых составляющих верхней атмосферы приведен в разделах Нейтралы и Ионы и электроны. Описание систем координат дано в разделе Системы координат.

В моделирующие уравнения входят электрическое \vec{E} и магнитное \vec{B} поля. \vec{B} в модели считается заданным, дипольным, с осью диполя, не совпадающей с осью вращения Земли. \vec{E} рассчитывается путем решения уравнений для потенциала.

См. также: