Системы координат

О модели /

Одной их характерных особенностей модели является решение различных групп моделирующих уравнений в различных (наиболее подходящих) системах координат с последующей интерполяцией необходимых параметров. Используются сферическая геомагнитная система координат, дипольная система координат и солнечно-магнитная система координат.

Уравнения непрерывности, движения и теплового баланса для нейтральных газов и молекулярных ионов и уравнение для электрического потенциала решаются в сферической геомагнитной системе координат, т.к. одним из источников энергии и импульса для нейтральной атмосферы являются авроральные высыпания, токи и дрейфы, которые удобнее описывать в геомагнитной системе координат.

Уравнения непрерывности, движения и теплового баланса для замагниченных атомарных ионов и электронов решаются в магнитной дипольной системе координат, т.к. на поведение и распределение замагниченных зараженных частиц преобладающим образом влияет геомагнитное поле. Некоторые входные параметры модели связаны с двумя другими системами координат — географической и солнечно-магнитной. Зенитный угол Солнца симметричен относительно подсолнечеых точек в географической системе координат. Входные параметры авроральных высыпаний связаны с солнечно-магнитной системой координат, фиксированной относительно Солнца.

Сферическая система координат

Сферическая система координат

Сферическая система координат

Сферические координаты:

{r} — радиус-вектор объекта,
{\theta} — полярное расстояние, которое иногда называют коширотой, изменяющееся от 0° до 180°,
{\lambda} — долгота, изменяющаяся от 0° до 360°.

Связь с декартовой системой координат:

{x=r\cdot\sin(\theta)\cos(\lambda)}
{y=r\cdot\sin(\theta)\sin(\lambda)}
{z=r\cdot\cos(\theta)}

Сферическая географическая система координат

Сферическая географическая система координат

Сферическая географическая система координат

Начало этой системы координат помещено в центре Земли, полярная ось направлена по оси вращения Земли, координата отсчитывается вдоль радиус-вектора, проведенного из центра Земли, полярный угол является дополнением географической широты {\varphi} до 90°, азимутальный угол \lambda совпадает с географической долготой (восточной). Векторы геомагнитного поля {{\vec B}\,,} ускорения силы тяжести {\vec g} и угловой скорости вращения Земли {\vec \Omega} в этой системе координат имеют компоненты:

\left\{\begin{array}{l l}B_\gamma=-B\sin I\\B_\theta=-B\cos I\cos D\\B_\lambda=B\cos I\sin I\\g_\gamma=-g\\g_\theta=g_\lambda=0,\\\Omega_r=\Omega\cos\theta,\\\Omega_\theta=\Omega\sin\theta ,\\\Omega_\lambda=0\end{array}\right.

где D,\,I — склонение и наклонение геомагнитного поля («Физика ионосферы» Б. Е. Брюнелли, А. А. Намгаладзе, стр.172).

Сферическая геомагнитная система координат

Сферическая геомагнитная система координат

Сферическая геомагнитная система координат

Данная система координат используется для расчета параметров термосферы и нижней ионосферы. Координатные линии и орты этой системы координат аналогичны линиям и ортам сферической географической системы координат с той разницей, что данная система привязана к оси, проходящей через центр Земли и геомагнитный полюс. Положение точки в этой системе определяется геомагнитной коширотой {\Theta,} геомагнитной долготой {\Lambda} и радиус-вектором {r.}

Выбор данной системы координат был обусловлен, главным образом, упрощением алгоритмов интерполяции парметров из координатной системы «шара» в координатную систему «трубки» и обратно.

Значительного усложнения алгоритмов расчета параметров «шара» при этом не происходит, поскольку в данной системе координат источники нагрева и ионизаци, связанные с геомагнитными координатами, задаются более естественным образом, а источники, связанные с Солнцем и задаваемые в сферической географической системе координат, могут быть легко преобразованы в описываемую систему координат.

Отметим, что описываемая система координат является ортогональной, и разностная сетка, построенная в этой системе, является равномерной по {\Lambda} и неравномерной по {\Theta} и в радиальном направлении.

Связь между геомагнитными и географическими координатами дается формулами:

\left\{\begin{array}{l l}\cos\Theta=\cos\theta_0\cos\theta+\sin\theta_0\sin\theta\cos(\lambda-\lambda_0)\\\cos\Lambda=[-\sin\theta_0\cos\theta+\cos\theta_0\sin\theta  \cos(\lambda-\lambda_0)]/{\sin\Theta}\end{array}\right.

\left\{\begin{array}{l l}\cos\theta=\cos\theta_0\cos\Theta-\sin\theta_0\sin\Theta\cos\Lambda\\\cos(\lambda-\lambda_0)=[\sin\theta_0\cos\Theta+\cos\theta_0\sin\Theta  \cos\Lambda]/{\sin\theta}\end{array}\right.

«Физика ионосферы» Б. Е. Брюнелли, А. А. Намгаладзе, стр.173) где {\theta_0\,,} {\lambda_0,} — географические координаты северного геомагнитного полюса, равные, соответственно, 11,30° и -70,60°. В этой системе координат склонение D=0 и

\left\{\begin{array}{l l}B_r=-B\sin I\\B_\theta=-B\cos I\\B_\lambda=0\\g_r=-g\\g_\theta=g_\lambda=0\\\Omega_r=\Omega(\cos\theta_0\cos\Theta-\sin\theta_0\sin\Theta\cos\lambda)\\\Omega_\theta=-\Omega(\cos\theta_0\sin\Theta+\sin\theta_0\sin\Theta\cos\lambda)\\\Omega_\lambda=\Omega\sin\theta_0\sin\lambda\end{array}\right.

(«Физика ионосферы» Б. Е. Брюнелли, А. А. Намгаладзе, стр.173).

Дипольная система координат

Для описания поведения замагниченных заряженных частиц в дипольном геомагнитном поле наиболее удобной является дипольная система координат (u,\,q,\,v) , в которой

  • координата u меняется перпендикулярно \vec{B} в плоскости геомагнитного меридиана,
  • q меняется вдоль дипольной силовой линии,
  • v — в направлении, перпендикулярном первым двум, и совпадает с геомагнитной долготой.

Преобразование из сферических геомагнитных координат (r,\,\Theta,\,\lambda) в магнитные дипольные координаты (u,\,q,\,v) задается следующими выражениями

u={R_E\over r}\sin\theta,\,

q=(\frac{R_E}{r})^2\cos\theta,\,

v=\lambda,\,

где R_E — радиус Земли.

Как следует из структуры дипольного магнитного поля, q имеет смысл безразмерного геомагнитного потенциала, а u=1/L , где L — так называемый параметр Мак-Илвейна, равный геоцентрическому расстоянию до вершины силовой линии, выраженному в радиусах Земли R_E .

В дипольной системе координат вектор геомагнитного поля имеет только одну компоненту

B_q=B,\,

B_v=B_u=0

Элементы длины в радиусах Земли вдоль соответствующих координатных линий дипольной системы координат будут

ds_u=h_udu,\,

ds_q=h_qdq,\,

ds_v=h_vdv,\,

где h_u , h_q , h_v коэффициенты Ламе.

Уравнение силовой линии имеет вид u\equiv1/L=const . Элемент длины силовой линии дипольного магнитного поля (в единицах R_E ) можно выразить

ds_{||}\equiv{ds_q}=L\sin\theta\sqrt{1+3\cos\theta}d\theta

Связь между компонентами любого вектора \vec{A} в сферической геомагнитной и дипольной системах координат

A_r=-A_q\sin{I}-A_u\cos{I},\,

A_\theta=-A_q\cos{I}+A_u\sin{I}

Аналогично и в более общем случае можно построить криволинейную систему координат, связанную с геомагнитным полем, взяв в качестве координат величины $latex \alpha,\,\beta,\,\gamma $ такие, что

\vec{B}=\vec\nabla\gamma=\vec\nabla\alpha\times\vec\nabla\beta

где

\alpha,\,\beta — так называемые эйлеровы потенциалы магнитного поля. В случе дипольного поля величины \alpha,\,\beta,\,\gamma с точностью до постоянных множителей совпадают с величинами u,\,v,\,-q :

\alpha=R_Eg_1^0u,
\beta=R_Ev
\gamma=-R_Eg_1^0q,
g_1^0=-0.314\Gamma c,

где g_1^0 — дипольный коэффициент гауссова разложения геомагнитного поля, [g_1^0]=[\Gamma c] .

Солнечная магнитная система координат

Взаимное расположение осей различных систем координат

Взаимное расположение осей различных систем координат (нажмите на изображение, чтобы увеличить)

Эта система координат фиксирована относительно Солнца. Угол $latex \theta_{SM} $ в сферической солнечно-магнитной системе координат совпадает с геомагнитной дипольной коширотой, а угол, отсчитываемый от плоскости полуденного геомагнитного меридиана, выраженный в часах, дает местное магнитное время

MLT=3.8197\Lambda_{SM}+12.

В данной системе координат удобно задавать распределение тех величин, которые связаны с положением Солнца, например, пространственное распределение потоков высыпающихся частиц, продольные токи, магнитосферные электрические поля.

Матрица преобразования сферической геомагнитной системы координат в солнечно-магнитную систему координат имеет вид:

B_{SM}\begin{pmatrix}\cos\psi & -\sin\psi & 0\\\sin\psi & \cos\psi & 0\\ 0 &0 & 1\end{pmatrix}

Здесь угол \psi задается выражением \psi=-0.2618\cdot MUT\,, где MUT — мировое время.

MUT=12-3.8197\cdot\arctan({Y^S_M\over X^S_M})\,,

X^S_M=(\cos S_D\cos\alpha\cos\varphi_0-\cos{S_D}\sin\alpha\sin\varphi_0)\cos\theta_0-\sin{S_D}\sin\theta_0\,,

Y^S_M=-\cos{S_D}(\cos\alpha\sin\varphi_0+\sin\alpha\cos\varphi_0)\,,

\alpha=0.2618\cdot (UT-12)\,,

S_D=\arctan\Big[{\frac{\large\sin{S_L}\sin\Delta}{\sqrt{1-(\sin{S_L}\sin\Delta)^2}}}\Big]\,,

S_L=0.0172(I+F)+1.46\cdot 10^{-4}(I_y-1951)-1.4078\,,

где

  • I_y  — год,
  • I — день в году,
  • F — время суток, выраженное в долях от 24 часов,
  • \Delta — угол между осью вращения Земли и осью эклиптики, равный 23.4°,
  • UT — мировое время в часах,
  • S_D — угол склонения Солнца.

Таким образом, повернув геомагнитную систему координат вокруг оси z на угол \psi, мы получили солнечно-магнитную систему.